ทฤษฎีบทพีทาโกรัส “พีทาโกรัส”

บทความวันนี้ เราจะมาเรียนรู้เกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส “พีทาโกรัส” ข้อความของทฤษฎีบทผกผันไปข้างหน้า สูตร การพิสูจน์ ตัวอย่างภาคปฏิบัติของทฤษฎีบท!

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส – ในภาษาอังกฤษ) เป็นความสัมพันธ์พื้นฐานในเรขาคณิตแบบยุคลิด (หรือที่เรียกว่าเรขาคณิตแบบยุคลิด) ระหว่าง 3 ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก (รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมเท่ากับ 90 องศา) ทฤษฎีบทระบุไว้ทั้งในทิศทางไปข้างหน้าและย้อนกลับดังนี้:

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

คำสั่งทฤษฎีบท

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้านตรงข้ามมุมฉาก (ด้านตรงข้ามมุมฉาก) เท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านทั้งสองของมุมฉาก

ในนั้น:
มุม A – เป็นมุมฉาก = 90 องศา
c – คือด้านตรงข้ามมุมฉาก
a, b – คือด้านของมุมฉาก
นิพจน์ข้างต้นสามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้ด้วย a, b, c เป็น 3 ด้านในรูปสามเหลี่ยมที่มีค่า> 0

พิสูจน์

มีหลายวิธีในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ เช่น:

พิสูจน์โดยใช้รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน
หลักฐานแบบยุคลิด
พิสูจน์โดยการหารภาพแล้วประกอบกลับเข้าไปใหม่
บทพิสูจน์ของไอน์สไตน์โดยการวิเคราะห์ข้อโต้แย้ง
พิสูจน์พีชคณิต
พิสูจน์ด้วยแคลคูลัส…

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

คำสั่งทฤษฎีบท

ในรูปสามเหลี่ยม หากสี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้านหนึ่งเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสของอีกสองด้านที่เหลือ สามเหลี่ยมนั้นก็คือสามเหลี่ยมมุมฉาก

สูตรอาหาร

พิจารณาสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ที่มี 3 ด้าน AB, BC, AC

พิสูจน์

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ทฤษฎีบท cos หรือการพิสูจน์มีดังนี้

ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน a, b และ c โดยที่ a2 + b2 = c2 สร้างสามเหลี่ยมที่สองโดยให้ด้าน a และ b และมุมฉากอยู่ระหว่างกัน ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสข้างหน้า ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากที่สองนี้จะเท่ากับ c = √a2 + b2 และเท่ากับด้านที่เหลือของสามเหลี่ยมแรก เนื่องจากสามเหลี่ยมทั้งสองมีด้านที่สัมพันธ์กันสามด้านที่มีความยาวเท่ากัน a, b และ c สามเหลี่ยมสองรูปจึงต้องเท่ากัน ดังนั้นมุมระหว่างด้าน a และ b ในสามเหลี่ยมแรกต้องเป็นมุมฉาก

ผลที่ตามมา

ผลที่ตามมาอย่างหนึ่งของทฤษฎีบทพีทาโกรัสผกผันคือวิธีง่ายๆ ในการพิจารณาว่าสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหรือว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลมหรือมุมป้าน ให้ c เป็นด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมและมี a + b > c (มิฉะนั้นจะไม่มีสามเหลี่ยมเพราะนี่คืออสมการสามเหลี่ยม) ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง:

ถ้า a2 + b2 = c2 แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
ถ้า a2 + b2 > c2 เป็นสามเหลี่ยมแหลม
ถ้า a2 + b2 < c2 แสดงว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมป้าน

แฝดพีทาโกรัส

พีทาโกรัสสามตัวเป็นจำนวนเต็มบวกสามจำนวน a, b และ c โดยที่ a2 + b2 = c2 กล่าวอีกนัยหนึ่ง สามพีทาโกรัสแทนความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งทั้งสามเป็นจำนวนเต็มบวก หลักฐานจากแหล่งโบราณคดีในภาคเหนือของยุโรปแสดงให้เห็นว่ากลุ่มสามกลุ่มเหล่านี้เป็นที่รู้จักของคนโบราณก่อนเวลาที่บันทึกเป็นลายลักษณ์อักษร เลขสามตัวเหล่านี้มักจะเขียนเป็น (a, b, c) ชุดทั่วไปบางชุดคือ (3, 4, 5) และ (5, 12, 13)

สามพีทาโกรัสเรียกว่าสามพีทาโกรัสดั้งเดิมเมื่อตัวเลข a, b และ c เป็นจำนวนเฉพาะ (หรือตัวหารร่วมมากที่สุดของ a, b และ c คือ 1)

ต่อไปนี้แสดงรายการพีทาโกรัสดั้งเดิมสามเท่าน้อยกว่า 100 (16 ชุด):

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12 , 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77 , 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

ขั้นตอนในการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสไปข้างหน้าและย้อนกลับ

เมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสบวกในการคำนวณความยาวด้านในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก นักเรียนต้องนำเสนอขั้นตอนต่อไปนี้:

ขั้นตอนที่ 1 พิจารณาสามเหลี่ยม: หากเราต้องการนำไปใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ เราต้องพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากนั้น
ขั้นตอนที่ 2 ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและแทนที่ตัวเลขเป็นนิพจน์
ขั้นตอนที่ 3 คำนวณความยาวของด้านเพื่อหาข้อสรุป

สำหรับแบบฝึกหัดเพื่อพิสูจน์ว่าสามเหลี่ยมเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก นักเรียนต้องทำดังนี้

ขั้นตอนที่ 1. เลือกด้านที่ยาวที่สุดแล้วยกกำลังสองออก
ขั้นตอนที่ 2 คำนวณผลรวมของกำลังสองของสองด้านที่เหลือ
ขั้นตอนที่ 3 เปรียบเทียบและอาศัยทฤษฎีบทพีทาโกรัสผกผันเพื่อสรุป